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Distancia y área

Túnel a través de la Tierra

Elige dos lugares y mira cómo sería un túnel recto entre ellos por dentro de la Tierra: cuánto mide, a qué profundidad llega, por qué capas pasa y cuánto tardarías en llegar al otro lado dejándote caer.

Ejemplo De Madrid a Sídney. Busca tus lugares o toca el mapa.

Cargando el mapa…

Camino más corto por la superficie

Resultado

Longitud del túnel recto

12.529 km

Madrid → Sídney

Profundidad máxima
5.212 km
Ángulo al empezar a cavar
79,5°por debajo de la horizontal
Por la superficie
17.684 kmel túnel ahorra 5.154 km (29,1 %)

Cruza el núcleo interno, una bola de hierro sólido en el centro de la Tierra.

Capas que cruza (modelo PREM)

Corte de la Tierra con el túnel: 12.529 km de largo y 5.212 km de profundidadNúcleo internoNúcleo externoMantoAB
  • Corteza 49,6 km
  • Manto 5.917 km
  • Núcleo externo 5.792 km
  • Núcleo interno 770 km

Si te dejas caer (sin rozamiento ni aire)

38 min 20 s

con la densidad real de la Tierra (modelo PREM)

Con densidad uniforme
42 min 10 s
Velocidad máxima, a mitad
34.810 km/h

Sales con velocidad cero, aceleras hasta la mitad, frenas y llegas a B justo parado. Con densidad uniforme se tarda lo mismo en cualquier túnel.

Antípoda de un lugarEncuentra el punto justo al otro lado de la Tierra desde cualquier lugar y mira si cae en tierra o en el mar. Distancia entre dos puntosMide la distancia entre dos lugares o dos puntos cualesquiera del mapa, en kilómetros o en millas. Rumbo y brújulaCalcula el rumbo de un lugar a otro, geográfico y magnético, con la declinación magnética de la zona.

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Cómo se usa

  1. Elige la entrada y la salida

    Busca dos lugares, pega coordenadas, usa tu ubicación o toca el mapa. Con «Salir en las antípodas», el túnel pasa por el centro.

  2. Mira el túnel

    Verás su longitud, la profundidad máxima, el ángulo con el que hay que empezar a cavar y lo que ahorra frente al camino por la superficie.

  3. Atraviesa las capas

    El corte de la Tierra dibuja el túnel a escala y la lista dice cuántos kilómetros pasa por la corteza, el manto y el núcleo.

Para qué sirve

  • Clase de física

    El túnel de gravedad es un problema clásico: con densidad uniforme se tarda lo mismo en cualquier túnel recto.

  • Clase de geografía

    Para ver a escala lo fina que es la corteza y lo grande que es el núcleo.

  • Curiosidad

    ¿Y si cavas un agujero en tu casa? Pon tu ubicación y sal en las antípodas.

  • Distancia en línea recta de verdad

    La cuerda es la distancia más corta posible entre dos puntos de la Tierra, más corta que cualquier camino por la superficie.

Cómo se calcula

La herramienta trata la Tierra como una esfera de 6.371 km de radio, la del modelo PREM. Con el ángulo θ que separa los dos lugares vistos desde el centro de la Tierra, el túnel es la cuerda entre los dos: la geometría es la de un círculo.

Para la caída se suelta un objeto en A sin rozamiento ni aire. Dentro de la Tierra solo tira la masa que queda más cerca del centro que tú. Si la densidad fuera la misma en todas partes, la gravedad bajaría en línea recta hasta el centro y el viaje sería un movimiento armónico que dura lo mismo en cualquier túnel. Con la densidad del PREM, la gravedad apenas baja hasta el núcleo, y el viaje se integra paso a paso: la velocidad en cada punto sale de la energía ganada al caer.

Longitud y profundidad

longitud = 2R · sen(θ/2) profundidad = R · (1 − cos(θ/2))

R = 6.371 km. El ángulo con el que se empieza a cavar, por debajo de la horizontal, es θ/2.

Caída con densidad uniforme

t = π · √(R³ / GM) ≈ 42 min

G es la constante de la gravitación y M, la masa de la Tierra. No depende del túnel.

Ejemplo: de Madrid a Sídney
Madrid 40,41903° N, 3,69198° O
Sídney 33,86880° S, 151,20930° E
Ángulo entre los dos, desde el centro 159,0°
Longitud del túnel 12.529 km
Por la superficie 17.684 km; el túnel ahorra 5.154 km
Profundidad máxima 5.212 km
Ángulo al empezar a cavar 79,5°
Capas que cruza corteza, 49,6 km; manto, 5.917 km; núcleo externo, 5.792 km; núcleo interno, 770 km
Caída con la densidad del PREM 38 min 20 s; a 34.810 km/h en la mitad
Caída con densidad uniforme 42 min 10 s

Un túnel corto apenas baja: de Madrid a Barcelona mediría 505 km y su punto más hondo quedaría a 5,00 km, sin salir de la corteza.

¿Cuánto se tarda en caer de un lado al otro?

Con densidad uniforme sale 42 min 10 s para cualquier túnel recto, sea de 10 km o de 12.000. Pero la Tierra no es uniforme: el núcleo de hierro es mucho más denso que la corteza. Por eso, al bajar, la gravedad casi no disminuye (incluso sube un poco hasta llegar al núcleo) y se gana velocidad antes. El túnel por el centro de la Tierra se recorre en 38 min 11 s con el modelo PREM, lo mismo que calculó Alexander Klotz en 2015 en el American Journal of Physics (38 min 11 s). Los túneles cortos siguen tardando unos 42 minutos y los largos se acercan a 38.

Túneles de varios tamaños

Así cambian la longitud, la profundidad y la caída con el ángulo entre los dos lugares: 10°: 1.111 km, 24,2 km de profundidad, 42 min 8 s; 45°: 4.876 km, 485 km de profundidad, 41 min 40 s; 90°: 9.010 km, 1.866 km de profundidad, 40 min 27 s; 135°: 11.772 km, 3.933 km de profundidad, 38 min 52 s; 180°: 12.742 km, 6.371 km de profundidad, 38 min 11 s.

Las capas de la Tierra según el modelo PREM

El Preliminary Reference Earth Model (Dziewonski y Anderson, 1981) es el modelo de referencia del interior de la Tierra, sacado de cómo viajan las ondas de los terremotos. Su radio es de 6.371 km. La corteza llega hasta 24,4 km de profundidad de media (en realidad varía mucho de unos sitios a otros); debajo está el manto, de roca, hasta 2.891 km; luego el núcleo externo, de hierro y níquel líquidos, hasta 5.150 km, y en el centro, el núcleo interno, sólido.

Preguntas frecuentes

¿Se puede cavar un túnel así?

No. La presión y la temperatura crecen tanto con la profundidad que ninguna perforación ha llegado siquiera a atravesar la corteza. La herramienta es un experimento mental para ver la geometría y la física de la Tierra.

¿Por qué con densidad uniforme se tarda lo mismo en cualquier túnel?

Porque dentro de una esfera uniforme la gravedad crece en proporción a la distancia al centro. A lo largo de cualquier cuerda, la fuerza que te empuja hacia la mitad del túnel crece en proporción a la distancia a esa mitad, que es justo un muelle: el periodo no depende de lo lejos que empieces.

¿Qué pasaría al llegar a B?

Llegarías justo parado. Si nadie te sujeta, volverías a caer hacia A y oscilarías para siempre, sin aire ni rozamiento. Con aire, el rozamiento te dejaría parado en el punto más hondo.

¿Por qué la Tierra es una esfera en esta herramienta?

Porque el modelo PREM, con el que se calculan las capas y la caída, es esférico. El achatamiento de la Tierra cambia la longitud del túnel en un 0,6 % como mucho (lo hemos comprobado con el elipsoide WGS84).

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Fuentes